Путешествие по Карликании и Аль-Джебре

«Сказки да не сказки» — так авторы назвали свою книжку. Действие происходит в воображаемых математических странах Карликании и Аль-Джебре. Герои книги, школьники Таня, Сева и Олег, попадают в забавные приключения, знакомятся с основами алгебры, учатся решать уравнения первой степени.

Эта книга впервые пришла к детям четверть века назад. Её первые читатели давно выросли. Многие из них благодаря ей стали настоящими математиками — таким увлекательным оказался для них мир чисел, с которым она знакомит.

Надо надеяться, с тем же интересом прочтут её и нынешние школьники. «Путешествие по Карликании и Аль-Джебре» сулит им всевозможные дорожные приключения, а попутно — немало серьёзных сведений о математике, изложенных весело, изобретательно и доступно. Кроме того, с него начинается ряд других математических путешествий, о которых повествуют книги Владимира Лёвшина «Нулик-мореход», «Магистр рассеянных наук», а также написанные им в содружестве с Эмилией Александровой «Искатели необычайных автографов», «В лабиринте чисел», «Стол находок утерянных чисел».

В. Лёвшин

Три дня в Карликании

День первый

В путь!

— Кто из вас был в Карликании? — спросил я.

Ребята удивлённо переглянулись.

— Что за, Карликания?

— Где она находится?

— Кто там живёт?..

Арабелла

Мы вошли в город незамеченными.

Это был необыкновенно красивый город. В центре его помещалась большая круглая площадь. От неё лучами расходились девять улиц.

«Улицы так и назывались: „Улица 1“, „Улица 2“ и так далее до „Улицы 9“».

А сама площадь называлась Числовой.

Улицы пересекались множеством переулков и переулочков, так что можно было с одной улицы всегда попасть на другую, не выходя на Числовую площадь.

Самое древнее государство

Мы знаем много древних государств: Индию, Египет, Вавилон, Ассирию, Грецию… Мы даже знаем, когда примерно каждое из них появилось. А вот когда появилось Арифметическое государство, этого никто не знает. А что оно очень-очень древнее, можно заключить из того, что и в Вавилоне, и в Египте, и в Греции, и на Руси, и во всех других древних государствах упоминается и Арифметическое. Значит, оно древнее всех.

Может быть, его основал самый-самый древний человек на земле, такой древний, что древнее его уже никого не было? Может быть, он издал Указ об основании Арифметического государства? Или захватил силой какую-нибудь страну и назвал её по-своему?

Нет, этого не может быть. Указов самый-самый древний человек писать, конечно, не умел — он вообще писать не умел, а государств в то время никаких и не было.

Были у древнего человека жена и двое детей. Вот пошёл однажды самый-самый древний человек на охоту и убил самого-самого древнего дикого кабана. Пришёл домой и… что же он сделал с добычей? Ну конечно же, разделил её на четыре части: жене, сыну, дочке и себе.

Яблоневый сад

Не успел я это сказать, как сад заполнился весёлыми малышами. Их привела цифра постарше — опрятная Четвёрка с бантиком в волосах. Заботливо одёрнув складки школьного платья, она подошла к нам и вежливо поздоровалась.

— Извините, — сказал я, — мы вошли в ваш сад без спроса.

— В нашем городе рады всем, — сказала она, — а школьникам особенно.

— Откуда вы знаете, что я школьник? — спросил Сева.

Таинственные знаки

Город кишел народом. Со всеми своими улицами и многочисленными переулками он был похож на большой, но хорошо изученный лабиринт.

В этом легко было убедиться, видя, как безошибочно и быстро находили жители Арабеллы дорогу к широкому проспекту Действующих Знаков.

Отовсюду стекались сюда оживлённые карликане. Были среди них дети и старики, торопливые и медлительные, болтуны и молчальники, смешливые и задумчивые. Но, несмотря на большую толпу, никто никого не толкал, никто никому не наступал на ноги.

Многие дружелюбно кивали нам в знак приветствия, а иногда и пожимали руки — словом, вели себя как добрые знакомые.

По обе стороны проспекта тянулись длинные здания со множеством вертящихся дверей. Карликане то и дело ныряли в них и тотчас же возвращались с небольшими чемоданчиками, в которых что-то мелодично позвякивало.

День второй

Простота…

Проснувшись утром, мы обнаружили, что Сева исчез. Так как все знали его непоседливый характер, никто не стал особенно беспокоиться.

Мы были правы. Через некоторое время он прибежал огорчённый: Нулик так и не нашёлся!

Сева нарочно встал пораньше, чтобы разузнать в городе о пропавшем малыше.

— Давайте сразу же после завтрака отправимся на поиски, — предложила Таня.

— Верно! — обрадовался Сева. — Я слышал, в Карликании есть какое-то местечко. Называется Рим.

…И совершенство

Мы свернули на маленькую улочку.

— Какая прелестная улица! — захлопала в ладоши Таня.

— Но это же улица Совершенства, — пояснила Четвёрка. — Здесь живут очень немногие числа. Но зато все они совершенные. Их так и зовут-совершенные числа. В отличие от простых, они-то уж обязательно делятся на всякие другие числа.

— Значит, они составные? — спросила Таня.

— Безусловно, составные. Но особенные. Совершенные числа равны сумме тех чисел, на которые делятся. Разумеется, кроме самих себя. Возьмём совершенное число — 6. На какие числа делится это число? На 1, на 2 и на 3. Теперь сложим эти три числа:

Развалины Рима

Мы шли довольно долго, пока наконец на холме не показался Рим. Он был окружён древними полуразрушенными крепостными стенами. Под ними находился ров, некогда наполненный водой, а теперь высохший и густо заросший сорными травами. Шаткий деревянный мост был поднят. Покосившиеся ворота заперты. Их охраняла дряхлая волчица.

— Здешние римляне утверждают, — не без юмора сказала Четвёрка, — что это прапрапраправнучка той самой волчицы, которая вскормила двух близнецов: Ромула и Рема — основателей древнего Рима.

— Смотрите, смотрите, — закричал Сева, — у них на башне гусь!

— Может быть, и это прапрапраправнук тех гусей, которые Рим спасли? — предположила Таня, с интересом рассматривая забавный флюгер.

— Как это гуси могли Рим спасти? — возмутился Сева.

Интересные находки

Идти было нелегко. То и дело попадались огромные ямы, возле которых громоздились насыпи щебня и земли. Всюду мы видели трудолюбивых, как муравьи, карликан. Они копались в земле с таким удовольствием, точно это был не тяжёлый труд, а весёлая игра. Ещё бы! Разве не интересно восстанавливать прошлое своего государства по ржавым и замшелым останкам старины, пролежавшим в земле тысячелетия!

Мы остановились у одной из таких ям и с любопытством наблюдали за работой. Как раз в это время степенный карликан вытащил из кучи земли какие-то маленькие вещицы.

— Ой, какие хорошенькие брошечки! — закричала Таня. Она ведь недаром была девочка.

Карликан улыбнулся:

— Как вы сказали? Брошечки? Такими брошками в Древнем Египте изображали слова. Называются они иероглифами. Когда-то иероглифы были очень сложными, потом упрощались, но становилось их всё больше. Иероглифами стали обозначать и числа.

День третий

Спичечный коробок

— Помните, — сказал мне Сева, — вы вчера обещали нам объяснить, как фокусник превратил Единицу в Великана.

— Ну что ж, — ответил я, — обещал, так объясню.

Ребята уселись поближе и приготовились слушать.

— Возьмём какое-нибудь число, — начал я, — ну, скажем, сто. И разделим его сперва тоже на сто. Получим единицу, не так ли? Ну, а если мы разделим сто на пятьдесят, что тогда получим?

— Два!

Нулики снова шалят

Сказка произвела большое впечатление. Ребята никак не могли успокоиться, без конца обсуждая необычный «фокус».

К счастью, их разглагольствования были прерваны запыхавшейся Четвёркой с бантиком. Она прибежала сказать, что не может нас сейчас сопровождать: нулики так расшалились, что с ними не сладишь. А сегодня её дежурство на Числовой площади. Она тотчас же умчалась. Мы поспешили за ней и вот что увидели. По Числовой площади, обнявшись, прогуливались всевозможные числа. О чём-то шептались Двойка и Тройка, образовав число 23. Рядом шли шеренгой и пели песню шесть первых цифр. Из них получилось большое число — 123 456, сто двадцать три тысячи четыреста пятьдесят шесть…

Между этими солидными, степенными числами шныряли озорники нулики, сбежавшие от своих мам из Десятичного переулка.

Вот один из них, особенно бойкий, подбежал к числу 125 и стал слева от единицы, вот так: 0125. Никто не обратил на него особого внимания, потому что число 125 от этого ни капельки не изменилось. Тогда Нулик перебежал на другой конец числа и стал рядом с Пятёркой. Число мгновенно выросло, как на дрожжах, и стало в десять раз больше: не 125, а 1250!

Так как в этом числе все цифры были молодые девушки, им вовсе не хотелось превращаться в старух. Они прогнали Нулика прочь.

Зеркальная улица

На площади всё утихло. К нам подошла Четвёрка с бантиком.

— А у меня для вас сюрприз, — сказала она, таинственно улыбаясь.

— Какой? Какой? — приставали к ней ребята.

— Что ж это за сюрприз, если о нём проболтаться раньше времени! — отбивалась Четвёрка. — Сперва я вас чуточку повожу за нос.

— А долго вы нас будете водить? — спросил нетерпеливый Сева.